Opções Modelo de Black-Scholes O modelo de Black-Scholes para calcular o prêmio de uma opção foi introduzido em 1973 em um artigo intitulado, O Preço de Opções e Passivos Corporativos publicado no Journal of Political Economy. A fórmula, desenvolvida por três economistas Fischer Black, Myron Scholes e Robert Merton é talvez o modelo de preços de opções mais conhecido do mundo. Black faleceu dois anos antes de Scholes e Merton receberem o Prêmio Nobel de Economia de 1997 por seu trabalho em encontrar um novo método para determinar o valor dos derivados (o Prêmio Nobel não é dado póstumo no entanto, o comitê do Nobel reconheceu o papel dos Negros no Negro - Scholes modelo). O modelo Black-Scholes é usado para calcular o preço teórico das opções de compra e venda européias, ignorando quaisquer dividendos pagos durante a vida útil das opções. Embora o modelo original de Black-Scholes não tenha levado em consideração os efeitos dos dividendos pagos durante a vida da opção, o modelo pode ser adaptado para contabilizar dividendos, determinando o valor ex-dividendo da ação subjacente. O modelo faz certas suposições, incluindo: As opções são europeias e só podem ser exercidas no vencimento Não há dividendos pagos durante a vida da opção Mercados eficientes (ou seja, os movimentos do mercado não podem ser previstos) Sem comissões A taxa livre de risco ea volatilidade de O subjacente é conhecido e constante Segue uma distribuição lognormal que é, os retornos sobre o subjacente são normalmente distribuídos. A fórmula, mostrada na Figura 4, leva em consideração as seguintes variáveis: Preço subjacente atual Preço de exercício das opções Tempo até o vencimento, expresso em percentual de um ano Volatilidade implícita Taxas de juros livres de risco Figura 4: Opções. O modelo é essencialmente dividido em duas partes: a primeira parte, SN (d1). Multiplica o preço pela variação do prémio de compra em relação a uma alteração no preço subjacente. Esta parte da fórmula mostra o benefício esperado de comprar o subjacente diretamente. A segunda parte, N (d2) Ke (-rt). Fornece o valor atual do pagamento do preço de exercício no vencimento (lembre-se, o modelo Black-Scholes aplica-se a opções européias que são exercíveis somente no dia de vencimento). O valor da opção é calculado tomando a diferença entre as duas partes, como mostrado na equação. A matemática envolvida na fórmula é complicada e pode ser intimidante. Felizmente, no entanto, os comerciantes e investidores não precisam saber ou mesmo entender a matemática para aplicar Black-Scholes modelagem em suas próprias estratégias. Como mencionado anteriormente, os operadores de opções têm acesso a uma variedade de calculadoras de opções on-line e muitas plataformas de negociação de hoje possuem ferramentas de análise de opções robustas, incluindo indicadores e planilhas que executam os cálculos e produzem os valores de preços das opções. Um exemplo de uma calculadora Black-Scholes online é mostrado na Figura 5, o usuário deve inserir todas as cinco variáveis (preço de exercício, preço da ação, tempo (dias), volatilidade e taxa de juros livre de risco). Figura 5: Uma calculadora Black-Scholes on-line pode ser usada para obter valores para chamadas e puts. Os usuários devem inserir os campos obrigatórios ea calculadora faz o resto. Calculadora cortesia tradingtodayO preço de opções e instrumentos relacionados tem sido um grande avanço para o uso da teoria financeira na aplicação prática. Desde os trabalhos originais de Black e Scholes (1973) e Merton (1973). Tem havido uma riqueza de aplicações práticas e teóricas. Neste capítulo, vamos discutir maneiras de calcular o preço de uma opção no cenário discutido nestes documentos originais. A discussão não é completa, precisa ser complementada por um dos livros-texto padrão, como Hull (1993). Vamos começar revisando a configuração. A suposição básica usada é sobre o processo estocástico que governa o preço do ativo subjacente sobre o qual a opção está escrita. Na discussão a seguir vamos usar o exemplo padrão de uma opção de ações, mas a teoria não é apenas relevante para as opções de ações. O preço do activo subjacente,. É suposto seguir um processo de movimento Brownian geométrico, convenientemente escrito em qualquer das formas abreviadas Usando o lema de Itos, a suposição de nenhuma arbitragem, ea habilidade para negociar continuamente, Black e Scholes mostraram que o preço de qualquer reivindicação contingente escrita no subjacente Deve resolver a seguinte equação diferencial parcial. Para qualquer reivindicação contingente particular, os termos da reivindicação darão um número de condições de contorno que determina a forma da fórmula de preço. Começaremos discutindo o exemplo original resolvido por Black, Scholes, Merton: opções europeias de call e put. Uma opção call (put) dá ao detentor o direito, mas não a obrigação, de comprar (vender) algum ativo subjacente a um determinado preço. Chamado de preço de exercício, em ou antes de determinada data. Se a opção for europeia, só poderá ser utilizada (exercida) na data de vencimento. Se a opção for americana, ela pode ser usada em qualquer data até a data de vencimento inclusive. Utilizamos a seguinte notação:. Preço do subjacente, por exemplo, preço da acção,. Preço do exercício, . Taxa de juros livre de risco, (composta continuamente),. Desvio padrão do activo subjacente, por exemplo, acções,. Data atual, . Data de vencimento e. Tempo até a maturidade. Na maturidade, vale a pena uma opção de compra e vale a pena uma opção de venda. Isso pode ser usado na solução do Black Scholes pde acima, uma vez que definem uma condição de contorno para o pde. Preços de opção analítica, Black Scholes caso. O pde com a condição de contorno foi mostrado por Black e Scholes para ter uma solução analítica de forma funcional mostrada na fórmula 6.1. Pode ser feito de várias maneiras. O original Black Scholes papel primeiro mostrou o pde geral mostrado na equação 6.1 e, em seguida, mostrou que com as condições de contorno definido por satisfeito o pde. A formulação Black Scholes envolve uma suposição de tempo contínuo ea possibilidade de negociação contínua. A fórmula Black Scholes pode ser comprovada de várias outras formas. Uma delas é assumir um agente representativo e lognormalidade como foi feito em Rubinstein (1976). Outra é usar o limite de um processo binomial (Cox et al., 1979). O último é particularmente interessante, já que nos permite vincular a fórmula de Black Scholes ao binômio, permitindo que a estrutura binomial seja usada como uma aproximação. Retornaremos a isso no próximo capítulo. Derivadas parciais. Na negociação de opções, um número de derivativos parciais da fórmula de preço de opção é importante. A primeira derivada do preço da opção com relação ao preço do título subjacente é chamada de delta do preço da opção. É o derivado que a maioria de povos funcionará em, desde que é importante em hedging das opções. Limitamos a discussão às parciais das opções de chamada O código 6.2 mostra o cálculo do delta para uma opção de chamada. Os derivados restantes são mais raramente utilizados, mas todos eles são relevantes. A gama é a segunda derivada do preço da opção em relação ao preço do título subjacente e calculada como: A teta é a parcial em relação ao tempo. Para uma opção de compra mantêm-se as seguintes duas relações: O Vega é o parcial em relação à volatilidade: O Rho é o parcial em relação à taxa de juros O cálculo de todas essas derivadas parciais é mostrado no código 6.3 Volatilidade Implícita. No cálculo das fórmulas de fixação de preços de opções, em particular a fórmula Black Scholes, o único desconhecido é o desvio padrão do stock subjacente. Um problema comum no preço das opções é encontrar a volatilidade implícita, dado o preço observado cotado no mercado. Por exemplo, dado. O preço de uma opção de chamada, a seguinte equação deve ser resolvido para o valor de Infelizmente, esta equação não tem solução de forma fechada, o que significa que a equação deve ser resolvido numericamente para encontrar. O que é provavelmente a forma mais simples algorítmica para resolver isso é usar um binômio algoritmo de pesquisa, que é implementado no seguinte. Começamos pelo bracketing do sigma encontrando um sigma alto que faz com que o preço de BS seja maior do que o preço observado e, em seguida, dado o intervalo de bracketing, buscamos a volatilidade de forma sistemática. O código 6.4 mostra tal cálculo. Em vez deste bracketing simples, que é realmente muito rápido, e vai (quase) sempre encontrar a solução, podemos usar a fórmula de Newton-Raphson para encontrar a raiz de uma equação em uma única variável. A descrição geral deste método começa com uma função para a qual queremos encontrar uma raiz. Options em moeda pode ser um pouco confuso para o preço particularmente para alguém que isnt usado para a terminologia do mercado, especialmente com as unidades. Neste post vamos quebrar as etapas para o preço de uma opção de FX usando um par de métodos diferentes. Um deles é usar o modelo Garman Kohlhagen (que é uma extensão dos modelos Black Scholes para FX) eo outro é usar o Black 76 e precificar a opção como opção em um futuro. Também podemos precificar esta opção como uma opção de compra ou como uma opção de venda. Supondo que você tem uma opção pricer para fazer esses cálculos. Você pode fazer o download de uma versão de avaliação gratuita do ResolutionPro para esse fim. Data de Vencimento: 7 de Janeiro de 2010 Preço à vista a partir de 24 de Dezembro: 1.599 Preço de exercício: 1.580 Volatilidade: 10 GBP taxa livre de risco: 0.42 USD taxa de risco: 0.25 Nocional: pound1,000,000 GBP Opção de venda no exemplo de FX Primeiro, olhe bem a opção de Put. O preço spot atual da moeda é 1.599. Isto significa 1 GBP 1.599 USD. Assim, a taxa USD / GBP deve cair para abaixo da greve de 1.580 para esta opção de ser in-the-money. Agora, colocamos as entradas acima em nossa opção pricer. Note nossas taxas acima são compostos anualmente, Act / 365. Embora geralmente essas taxas seriam cotadas como simples interesse, Act / 360 para USD, Act / 365 para GBP e wed necessidade de convertê-los para qualquer composição / daycount nosso pricer usa. Estavam usando um prerker de Scholes Black Gereralized, que é o mesmo que Garhman Kohlhagen quando usado com entradas de FX. Nosso resultado é 0.005134. As unidades do resultado são as mesmas que a nossa entrada que é USD / GBP. Então, se nós múltiplos isso por nosso notional em GBP obtemos nosso resultado em USD como as unidades GBP cancelar. 0,005134 USD / GBP x libra1,000,000 GBP 5,134 USD Opção de chamada no exemplo de FX Agora vamos executar o mesmo exemplo como uma opção de chamada. Invertimos o nosso preço spot e exercício para ser GBP / USD em vez de USD / GBP. Desta vez as unidades estão em GBP / USD. Para obter o mesmo resultado em USD, nós múltiplos 0,002032 GBP / USD x 1,580,000 USD (o nocional em USD) x 1,599 USD / GBP (spot actual) 5,134 USD. Nota nas entradas para o nosso pricer, estamos agora usando a taxa de USD como doméstica e GBP como o estrangeiro. O ponto-chave destes exemplos é mostrar que é sempre importante considerar as unidades de suas entradas como que irá determinar como convertê-los em unidades que você precisa. FX Option on Futuro exemplo Nosso próximo exemplo é o preço da mesma opção como uma opção em um futuro usando o Black 76 modelo. Nosso preço futuro para a moeda na data de vencimento é 1.5991 Vamos usar isso como nosso subjacente em nosso pricer opção preto. Obtemos o mesmo resultado quando usamos os modelos Black-Scholes / Garman Kohlhagen. 5,134 USD. Para obter detalhes sobre a matemática por trás desses modelos, consulte help. derivativepricing. Saiba mais sobre o suporte de Resoluções para derivativos cambiais. Compra Grátis Trial Mais Popular PostsFor opções sobre outros instrumentos financeiros de ações, temos de permitir que o fato de que o subjacente pode ter pagamentos durante a vida da opção. Por exemplo, ao trabalhar com opções de commodities, há muitas vezes alguns custos de armazenagem se se quisesse proteger a opção comprando o subjacente. O caso mais simples é quando os pagamentos são feitos continuamente. Para valorizar uma opção européia, um simples ajuste à fórmula Black Scholes é tudo o que é necessário. Let Ser o pagamento contínuo da mercadoria subjacente. Os preços de compra e venda para opções europeias são então dados pela fórmula 8.1. Que são implementadas no código 8.1. Um caso especial de pagamentos para o subjacente é dividendos. Quando o subjacente paga dividendos, a fórmula de precificação é ajustada, porque o dividendo altera o valor do subjacente. O caso de dividendos contínuos é mais fácil de lidar. Corresponde aos pagamentos contínuos que examinamos anteriormente. O problema é o fato de que a maioria dos dividendos são pagos em datas discretas. Para ajustar o preço de uma opção européia para dividendos conhecidos, simplesmente subtrai o valor presente dos dividendos do preço atual do ativo subjacente no cálculo do valor de Black Scholes. As opções americanas são muito mais difíceis de lidar do que as européias. O problema é que pode ser ótimo usar (exercer) a opção antes da data final de validade. Essa política de exercício ideal afetará o valor da opção e a política de exercícios deve ser conhecida na resolução do pde. Portanto, não há soluções analíticas gerais para as opções de compra e venda americanas. Há alguns casos especiais. Para as opções de compra americanas em ativos que não têm nenhum pagamento, o preço de compra americano é o mesmo que o europeu, uma vez que a política de exercício ideal é não exercer. Para a American Put não é este o caso, pode pagar para exercê-los cedo. Quando o activo subjacente tem pagamentos, também pode pagar para exercer a opção antecipadamente. Há um conhecido preço analítico conhecido para as opções de compra americanas, que é o caso de uma chamada em uma ação que paga um dividendo conhecido, que é discutido a seguir. Em todos os outros casos, o preço americano tem que ser aproximado usando uma das técnicas discutidas em capítulos posteriores: Aproximação binomial, solução numérica da equação diferencial parcial, ou outra aproximação numérica. Quando uma ação paga dividendos, uma opção de compra sobre o estoque pode ser otimamente exercida pouco antes do estoque vai ex-dividendo. Enquanto o problema do dividendo geral é geralmente aproximado de alguma forma, para o caso especial de um pagamento de dividendos durante a vida de uma opção de uma solução analítica está disponível, devido à Roll-Geske-Whaley. Se deixarmos ser o preço da ação, o preço de exercício, o montante do dividendo pago, o tempo de pagamento do dividendo, a data de vencimento da opção, encontramos uma primeira verificação do exercício antecipado é: Se essa desigualdade é cumprida, o exercício precoce não é Ideal, eo valor da opção é onde está a fórmula de Black Scholes regular. Se a desigualdade não for cumprida, um executa o cálculo mostrado na fórmula 8.2 e implementado no código 8.3 Opções sobre futuros Modelo Blacks Para uma opção europeia escrita em um contrato de futuros, usamos um ajuste da solução Black Scholes, que foi desenvolvido em preto (1976). Essencialmente nós substituímos com na fórmula Black Scholes, e obter a fórmula mostrada em 8.3 e implementado no código 8.4. Opções de moeda estrangeira Outro ajuste relativamente simples da fórmula Black Scholes ocorre quando o título subjacente é uma taxa de câmbio (taxa spot). Neste caso, ajusta-se a equação de Black-Scholes para o diferencial de juros. Let Ser a taxa de câmbio à vista, e agora deixe ser a taxa de juros interna ea taxa de juros externa. É então a volatilidade das mudanças na taxa de câmbio. O cálculo do preço de uma opção de compra europeia é então mostrado na fórmula 8.4 e implementado no código 8.5. Uma opção perpétua é uma sem data de vencimento, é inifinitely vivida. Naturalmente, apenas as opções americanas perpétuas fazem qualquer sentido, as opções perpétuas européias provavelmente seriam difíceis de vender. 8. 1 Para fórmulas analíticas tanto put e calls foi desenvolvido. Consideramos o preço de uma chamada americana, e discutimos a colocação em um exercício. A Fórmula 8.5 dá a solução analítica. Uma primeira formulação de um preço analítico de chamada com dividendos foi em Roll (1977). Isto teve alguns erros, que foram parcialmente corrigidos em Geske (1979). Antes de Whaley (1981) dar uma fórmula final, correta. Veja Hull (2003) para um resumo do livro-texto. Black (1976) é o desenvolvimento original da opção de futuros. As formulações originais dos preços das opções em moeda estrangeira europeia estão em Garman e Kohlhagen (1983) e Grabbe (1983). O preço de uma posse perpétua foi mostrado pela primeira vez em Merton (1973). Para uma chamada perpétua ver McDonald e Siegel (1986). A notação aqui segue o resumo em (McDonald, 2002. pg. 393).ResolutionOptions - calculadoras de preço de opção ResolutionOptions é um conjunto de funções simples e fáceis de usar para a avaliação e gerenciamento de risco de opções de baunilha. Todas as funções estão totalmente documentadas e acompanhadas por uma série de exemplos abrangentes que estabelecem todos os resultados intermediários relevantes. Modelos Excelreg simples demonstram claramente a estrutura das funções e as entradas necessárias. Adequado para opções de ações, opções de câmbio e opções de commodities Opções européias, bermudas e americanas Calculadoras de opções pré-construídas Gama completa de sensibilidade a opções (gregos), delta, gama, teta, vega e rho. Funções associadas para volatilidade implícita, spot implícito e greve implícita Ajuste de diluição para warrants e opções de ações executivas (ESO) Capacidade de incorporar dividendos discretos e contínuos Enviado com um conjunto de modelos Excel úteis que fornecem exemplos de como as funções devem ser implementadas Modelos de opção Black Scholes Scholes Black Scholes Black Scholes Black Scholes Garantia Black Scholes Garland Kohlhagen Barone Adesi Roll Whaley Geske Whaley Binomial Modelos Trinomial para opções exóticas Escolhendo o modelo de precificação apropriado Para obter mais informações sobre como escolher o modelo de precificação apropriado , Explore os links abaixo. Benefícios da avaliação gratuita de compra Black Scholes calculator
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